Você pode pensar que relações são objetos que agrupam outros objetos. Por exemplo, o contorno de uma cidade como Natal pode ser 1 linha só, ou (usando relações) um grupo de linhas menores que são partes do contorno. Veja aqui em Membros a lista completa dos membros. Esta é a primeira linha que compõe o contorno. Note em Parte de que a mesma linha é usada em outras 2 relações: o limite da cidade vizinha Extremoz, e o limite do bairro Lagoa Azul. Sem relações, você teria que desenhar esse trecho do contorno 3 vezes e sobrepor cada uma das linhas. Pode parecer pouco trabalho, mas daí considere o segundo pedaço, que não só divide as 3 áreas como também serve para mapear um rio. Com relações, você poupa trabalho.
O Arlindo citou que relações servem para rotas de linhas de ônibus. Sem relações, você teria que desenhar a rota ao lado ou por cima das vias que já existem (o que por si só seria uma bagunça quando você tem 20 rotas passando pela mesma rua), e se alguém decidisse alterar a via principal (digamos, porque está desalinhada com o satélite), teria que alterar também todas as rotas de ônibus, uma por uma.
Quando você inclui algo numa relação, você atribui um papel (em inglês, role) a essa coisa. Esses papéis são diferentes para cada tipo de relação. Em limites administrativos (como os que definem o contorno de Natal), os papéis geralmente são “outer” (que quer dizer que a linha um limite externo do contorno). Se Natal tivesse um buraco dentro de si, teria também linhas com o papel “inner”. Isso acontece em alguns países que têm “enclaves” (ex.: Vaticano é um enclave na Itália, a Itália, portanto, tem um buraco preenchido por outro país). Sem relações, você não teria como representar um polígono com um buraco dentro, porque linhas comuns só representam contorno externo das áreas. Um exemplo disso é este delta na cidade onde eu moro (veja que tem membros outer e inner).
Se você quiser aprender mais sobre relações, sugiro começar investigando aqui: http://wiki.openstreetmap.org/wiki/Types_of_relation